Question

等差数列{a_n} 的各项均为整数，a₁=3，前n项和为S_n，其中S₅=35．又等比数列 {b_n}中，b₁=1，b₂S₂=64．
（1）求a_n与b_n
（2）证明：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）设a_n的公差为d，b_n的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，由S₅=35．b₂S₂=64建立方程求出d，q即可得到a_n与b_n．
（2）由（1）得S_n=n（n+2），由于其倒数为

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，故

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的各易求，求出其和，利用放缩法进行证明．

解答：解：（1）设a_n的公差为d，b_n的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1（2分）
依题意有

S5=5×3+ 5×4 2 ×d=35 S2b2=(6+d)q=64

，
解之得d=2，q=8（4分）
a_n=2n+1，b_n=8^n-1（6分）
（2）证明：S_n=n（n+2）（8分）

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

++

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

+

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

(n+1)(n+2)

＜

3

4

∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

3

4

（12分）

点评：本题考查等差与等比数列的综合，考查利用两个数列的性质建立方程求其通项，以及利用裂项分求和，放缩法证明不等式，本题中裂项求和时要注意恒等变形，莫忘记分母上两个数的差是2，故应乘以

1

2

以保证两边相等．