Question

（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角

形，与的交点为，为侧棱上一点.

（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）当二面角的大小为时，

试判断点在上的位置，并说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

解法一：

证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥.

        因为平面，平面，

        所以∥平面.   …………4分

（Ⅱ）由已知可得，,是中点，

所以，

又因为四边形是正方形，所以.

因为，所以.

又因为，所以平面平面.           …………8分

（Ⅲ）解：连接，由（Ⅱ）知.

而, 所以.

又.

所以是二面角的平面角，即.

设四棱锥的底面边长为2，

在中，, ,  所以,

又因为, ,

所以是等腰直角三角形.

由可知，点是的中点. …………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一      …………4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，，，

.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.                   …………8分

（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.

所以点是的中点.                                     …………14分