Question

 

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e＝，过点C（－1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足．?

   （Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；

   （Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e＝，过点C（－1，0）的直线l与椭圆

E相交于A、B两点，且满足．?

   （Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；

   （Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.

解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），直线的方程为y＝k（x＋1）

由e＝∴a²＝3b²       

 故椭圆方程x²＋3y²＝3b²                                     …………1分

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，

得（－1－x₁，－y₁）＝2（x₂＋1，y₂）                        

可得                           …………2分

由消去y整理并化简得

（3k²＋1）x²＋6k²x＋3k²－3b²＝0                                 …………3分

由直线l与椭圆E相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点?

           …………4分

而S_△OAB ⑥

…………6分

由①④得：x₂＋1＝－，代入⑥得：S_△OAB＝

…………7分

（Ⅱ）因S_△OAB＝，                …………8分

当且仅当，S_△OAB取得最大值，                          …………9分

此时x₁＋x₂＝－1，又由①得＝－1 

∴x₁＝1，x₂＝－2                                               …………10分

将x₁，x₂及k²＝代入⑤得3b²＝5，满足△＞0                      …………11分

∴椭圆方程为x²＋3y²＝5                                        …………12分