Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间［0,］上是单调函数,求φ和ω的值.

Answer 1

解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),

所以-cosφsinωx=cosφsinωx,对任意x都成立,且ω＞0,

所以得cosφ=0.

依题设0≤φ≤π,所以解得φ=.

由f(x)的图象关于点M对称得f(-x)=-f(+x),取x=0,得f()=sin(+)=cos,

∴cos=0.

又ω＞0,得=+kπ,k=1,2,3,…,

∴ω=(2k+1),k=0,1,2,…

当k=0时,ω=,f(x)=sin(x+)在［0,］上是减函数;

当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+)在［0,］上是减函数;

当k≥0时,ω=,f(x)=sin(ωx+)在［0, ］上不是单调函数.

所以综合得ω=或ω=2.