Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0）且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含a式子表示b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=2，试求f（x）在区间[c，c+

1

2

]（c＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），由f′(x)=

1

x

-ax+b，知f′（1）=1-a+b=0，由此得到b=a-1．
（Ⅱ）将b=a-1代入f′(x)=

1

x

-ax+b，得f′(x)=

1

x

-ax+a-1．当f′（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）当c+

1

2

≤1时，f（x）在[c，c+

1

2

]上单调递增．所以f(x)max=f(c+

1

2

)=ln（c+

1

2

）+

1

4

-c2．由此能求出f（x）在区间[c，c+

1

2

]（c＞0）上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）
∵f′(x)=

1

x

-ax+b，f′（1）=1-a+b=0，
得：b=a-1．…（4分）
（Ⅱ）将b=a-1代入f′(x)=

1

x

-ax+b，
得f′(x)=

1

x

-ax+a-1
=-

(ax+1)(x-1)

x

．…（6分）
当f′（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增，
当f′（x）＜0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（9分）
（Ⅲ）当c+

1

2

≤1，即0＜c≤

1

2

时，f（x）在[c，c+

1

2

]上单调递增．
所以f(x)max=f(c+

1

2

)
=ln（c+

1

2

）-（c+

1

2

）²+c+

1

2

=ln（c+

1

2

）+

1

4

-c2．…（11分）
当

c＜ 1 2 c+ 1 2 ＞1

，即

1

2

＜c＜1时，f（x）在[c，1]上单调递增，在[1，c+

1

2

]上单调递减，
所以f（x）_max=f（1）=0．…（13分）
当c≥1时，f（x）在[c，c+

1

2

]上单调递减．
所以f(x)max=f(c)=lnc-c2+c．…（15分）
综上：f(x)max=

ln(c+ 1 2 )-c2+ 1 4 ，0＜c≤ 1 2 0， 1 2 ＜c＜1 lnc-c2+c，c≥1

．

点评：本题考查函数在闭区间上的最大值，考查运算求解能力，考查论证推理能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．