题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b为实数)
（1）若函数f（x）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．
（1）∵f(x)=
1
3
x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b为实数)
∴f′（x）=x2+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函数f（x）有极值
故方程x2+2ax-bx=0有两个不等实根
∴△=4a2+4b＞0即a2+b＞0②
由①②得a2+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴f′（x）=x2+2ax-bx≤0在区间[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即
1-2a-b≤0
4+4a-b≤0

所以a+b的最小值为
3
2
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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