题目内容
函数f（x）=（1+cosx）8+（1-cosx）8（x∈R）的最大值等于
256
256
．分析：根据二项式定理，化简得出f（x）=2（C80+C82cos2x+C84cos4x+C86cos6x+c88cos8x），令cos2x=t 降次后，转化为关于t的四次函数，结合单调性求出最值．
解答：解：根据二项式定理，（1+cosx）8与（1-cosx）8展开式中，奇数项相等，偶数项互为相反数，
∴f（x）=2（C80+C82cos2x+C84cos4x+C86cos6x+c88cos8x），
令cos2x=t，则y=g（t）=2（C80+C82t+C84t2+C86t3+c88t4），
易知g（t）在t∈[0，1]上单调递增，
所以当t=1时，y取得最大值，y=2（C80+C82+C84+C86+c88）=2（1+28+70+28+1）=256．
故答案为：256．
∴f（x）=2（C80+C82cos2x+C84cos4x+C86cos6x+c88cos8x），
令cos2x=t，则y=g（t）=2（C80+C82t+C84t2+C86t3+c88t4），
易知g（t）在t∈[0，1]上单调递增，
所以当t=1时，y取得最大值，y=2（C80+C82+C84+C86+c88）=2（1+28+70+28+1）=256．
故答案为：256．
点评：本题考查三角函数最值求解，二项式定理的应用．用到了换元法的函数的单调性．
练习册系列答案
相关题目