题目内容

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2），n∈N⁺，我们把使a₁•a₂•…•a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的理想数．给出下列关于数列{a_n}的几个结论：
①数列{a_n}的最小理想数是2．
②{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=4ⁿ-2（n∈N⁺）．
③对任意n∈N⁺，有a_n+1＜a_n．
④ $数学公式$ ．
其中正确结论的序号为________．

①③
分析：由 $\text{[math]}$ ，知a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．log₂（n+2）为整数的最小的n=2，数列{a_n}的最小理想数是2．{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=2^n-1，对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n． $\text{[math]}$ =1，故正确结论的序号为①③．
解答： $\text{[math]}$ ，
∴a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．
∵k∈N^*，∴log₂（n+2）为整数的最小的n=2，数列{a_n}的最小理想数是2．故①正确；
{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=2^n-1，故②不成立；
对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故③成立；
$\text{[math]}$ =1，故④不成立．
故正确答案为①③．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．