Question

如图，F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右分支分别交于A，B两点．若AB：BF₂：AF₂=3：4：5，则双曲线的离心率为

13

．

Answer 1

分析：根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF₂=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F₁F₂|，从而可求得双曲线的离心率．

解答：解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
∵|AB|²+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF₂=90°，
又由双曲线的定义得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₁|+3-4=5-|AF₁|，∴|AF₁|=3．
∴|BF₁|-|BF₂|=3+3-4=2a，∴a=1．
在Rt△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²=6²+4²=52，
又|F₁F₂|²=4c²，∴4c²=52，
∴c=

13

，
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

13

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得a与c的值是关键，属于中档题．