Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求证：CD⊥平面ABB₁A₁
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥B-CDB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC=2，点D是AB的中点，可得CD⊥AB．由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥CD，即可证明；
（2）点O为矩形CBB₁C₁的对角线交点，可得：C₁O=OB，利用三角形中位线定理可得：AC₁∥OD，利用线面平行的判定定理可得：AC₁∥平面CDB₁．
（3）由AC=BC=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．可得S_△CDB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AC×BC$．利用三棱锥B-CDB₁的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDB}$×B₁B即可得出．

解答 （1）证明：∵AC=BC=2，点D是AB的中点．∴CD⊥AB．
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥CD，
又AB∩AA₁=A，∴CD⊥平面平面ABB₁A₁．
（2）证明：∵点O为矩形CBB₁C₁的对角线交点，
∴C₁O=OB，
又AD=DB，
∴AC₁∥OD，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：∵AC=BC=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴S_△CDB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AC×BC$=1．
∴三棱锥B-CDB₁的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDB}$×B₁B
=$\frac{1}{3}×1×2$
=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．