Question

设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．

Answer 1

分析：设出抛物线方程与直线3x+4y+m=0联立，利用判别式为0，求出相切时m的值，利用点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，建立方程，即可求得结论．

解答：解：设抛物线的方程为x²=-2py，则由

x2=-2py 3x+4y+m=0

，∴2x²-3px-pm=0
∴△=9p²+8pm=0，∴m=-

9

8

p
∵点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，
∴d=

|14- 9 8 p|

5

=1
∴p=8或p=

152

9

（舍去），
∴抛物线方程为：x²=-16y

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．