Question

设函数f(x)=

1

3

ax3-ax+a，g(x)=bx2-lnx，(a＞0，b∈R)，已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）当x＞0时，求证：x²-2lnx≥1；
（3）若函数F(x)=

f(x)，(x≤0) g(x)，(x＞0)

，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义可得f^′（1）=g^′（1）即可求出b的值．
（2）由（1）可得g^′（x）=

(x-1)(x+1)

x

从而可得出x∈（0，1）时g^′（x）＜0，x∈（1，+∞）时g^′（x）＞0所以g（x）≥g（1）再整理即可．
（3）利用导数判断函数F（x）的单调性和极值然后作出函数F（x）的简图然后根据函数y=a²与函数F（x）的图象有两个交点即可求出a的范围．

解答：解：（1）f^′（x）=a（x²-1），g^′（x）=2bx-

1

x

∵它们在x=1处的切线互相平行
∴f^′（1）=g^′（1）
∴2b-1=0
∴b=

1

2

（2）由（1）可得：g^′（x）=

(x-1)(x+1)

x

当x∈（0，1）时g^′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时g^′（x）＞0
则：gmin(x)=g极小值(x)=g(1)=

1

2

∴g（x）=

1

2

x2- lnx≥

1

2

∴x²-2lnx≥1
（3）当x＞0时，F（x）=）=

1

2

x2- lnx，由（2）得：
当x=1时F_极小值（x）=F（1）=

1

2

当x≤0时F（x）=

1

3

ax3-ax+a则F^′（x）=a（x-1）（x+1）
∴当x∈（-∞，-1）时F^′（x）＞0，当x∈（-1，0）时F^′（x）＜0
故当x=-1时F_极大值（x）=F（-1）=

5a

3

又方程F（x）=a²有且仅有四个解
则：

1

2

＜a²＜

5a

3

又a＞0
∴a∈（

2

2

，

5

3

)

点评：本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数F（x）的单调性和极值，属常考题，较难．解题的关键是透彻理解导数的几何意义即为在这点切线的斜率，同时能根据导数得出函数的单调区间及单调性进而作出函数简图为数形结合解题作铺垫！