Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且（0，）是椭圆M的一个焦点，又点A（1，）在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率是，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，代入A的坐标，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设出直线BC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理计算弦长，求出点A到BC的距离，可得三角形的面积，利用基本不等式，即可求得最值．
解答：解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，），故设椭圆方程为．
将点A（1，）代入方程得，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求椭圆方程为
（Ⅱ）设直线BC的方程为，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8①
由，
故|BC|==．
又点A到BC的距离为d=，
故S_△ABC==≤，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足①式）
所以△ABC面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．