题目内容

已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且(0,-
2
)是椭圆M的一个焦点,又点A(1,
2
)在椭圆M上.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知直线l的斜率是
2
,若直线l与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值.
分析:(Ⅰ)设出椭圆方程,代入A的坐标,即可求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设出直线BC的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理计算弦长,求出点A到BC的距离,可得三角形的面积,利用基本不等式,即可求得最值.
解答:解:(Ⅰ)由已知抛物线的焦点为(0,-
2
),故设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
a2-2
=1

将点A(1,
2
)代入方程得
2
a2
+
1
a2-2
=1
,整理得a4-5a2+4=0,
解得a2=4或a2=1(舍).
故所求椭圆方程为
y2
4
+
x2
2
=1

(Ⅱ)设直线BC的方程为y=
2
x+m
,设B(x1,y1),C(x2,y2
代入椭圆方程并化简得4x2+2
2
mx+m2-4=0

由△=8m2-16(m2-4)>0,可得m2<8①
x1+x2=-
2
2
m,x1x2=
m2-4
4

故|BC|=
3
|x1-x2|
=
3
16-2m2
2

又点A到BC的距离为d=
|m|
3

故S△ABC=
1
2
|BC|d
=
m2(16-2m2)
4
1
4
2
2m2+(16-2m2)
2
=
2

当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号(满足①式)
所以△ABC面积的最大值为
2
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.
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