Question

已知函数在x=1处取得极值2．
（I） 求函数f（x）的表达式；
（II）若f（x）的定义域、值域均为[m，n]，（0≤m＜n）试求所有满足条件的区间[m，n]；
（Ⅲ）若直线l与的图象切于点P（x，y），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导函数，利用函数在x=1处取得极值2，可得，从而得解．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，+∞]上为减函数，分类讨论：0≤m＜n≤1；1≤m＜n；0≤m＜1＜n，从而可求满足条件的区间．
（Ⅲ）求导函数，由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=，进而尅去直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（I）因…（2分）
而函数在x=1处取得极值2
所以 ⇒⇒
所以 为所求                             …（4分）
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，+∞]上为减函数，
（1）若0≤m＜n≤1，则，无解．…（8分）
（2）若1≤m＜n，则，无解．…（10分）
（3）若0≤m＜1＜n，则n=2，而，所以，解得m=0．
综合知，满足条件的区间为[0，2]．…（12分）
（Ⅲ）
由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=…（15分）
令，则t∈（0，1]
此时，
根据二次函数的图象性质知：
当时，k，
当t=1时，k_max=4．
所以，直线l的斜率k的取值范围是．         …（18分）
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，同时考查了导数的几何意义．