Question

已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足（a²+c²-b²）sin（B+C）=a²sinC．
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(4k，1)(k＞0)，若

m

•

n

的最大值为11，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦定理把题中条件转化，再结合余弦定理即可求出结论；
（2）直接根据向量的数量积得到

m

•

n

的表达式，再结合二次函数在闭区间上的最值讨论即可求出k的值．

解答：解：（1）∵（a²+c²-b²）sinA=a²sinC
由正弦定理得：（a²+c²-b²）•a=a²c∴a²+c²-b²=ac
又∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，B∈（0，π）
∴B=

π

3

（2）∵A+C=

2π

3

，∴A∈(0，

2π

3

)
∴0＜sinA≤1
∵

m

•

n

=4ksinA+cos2A=-2（sinA-k）²+2k²+1
当0＜k≤1时　(

m

•

n

)max=2k2+1=11
∴k=±

5

不合．
当k＞1时  (

m

•

n

)max=4k-1=11
∴k=3满足　　　
综上，k=3

点评：本题主要考察正弦定理和余弦定理的应用，一般在解三角形时，要么角转化为边，要么边转化为角．