题目内容

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f（x）=ax³+bx（a＞0）图象上．若正方形ABCD唯一确定，则b的值为________．

$\text{[math]}$
分析：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可．
解答：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx（k≠0），
则对角线BD所在的直线方程为y=- $\text{[math]}$ x．
由 $\text{[math]}$ ，解得x²= $\text{[math]}$ ，
所以AO²=x²+y²=（1+k²）x²=（1+k²）• $\text{[math]}$ ，
同理，BO²=[1+（- $\text{[math]}$ ）²]• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
又因为AO²=BO²，所以k³-k²b+ $\text{[math]}$ +b=0．
即k²+ $\text{[math]}$ -b（k- $\text{[math]}$ ）=0，即（k- $\text{[math]}$ ）²-b（k- $\text{[math]}$ ）+2=0．
令k- $\text{[math]}$ =t得t²-bt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定，则对角线AC与BD唯一确定，于是k- $\text{[math]}$ 值唯一确定，
所以关于t的方程t²-bt+2=0有且只有一个实数根，又k- $\text{[math]}$ =t∈R．
所以△=b²-8=0，即b=±2 $\text{[math]}$ ．
因为x²= $\text{[math]}$ ＞0，a＞0，所以b＜k；又 $\text{[math]}$ ＞0，所以b＜- $\text{[math]}$ ，故b＜0．
因此b=-2 $\text{[math]}$ ；
反过来b=-2 $\text{[math]}$ 时，t=- $\text{[math]}$ ，k- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
于是k= $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；或k= $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
于是正方形ABCD唯一确定．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本小题主要考查函数的解析式的求法以及导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．