Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a

p

m

，log_a

p

n

]，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=log_a（x²-3x+3），F（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）对?x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=a^x-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称，知y=f（x）是y=a^x-1（a＞1）的反函数．由此能求出f（x）=log_a（x+1）．
（Ⅱ）因为a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上为单调递增函数．所以f（x）=log_a（x+1）在区间[m，n]（m＞-1）上为单调递增函数．由此利用f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a

p

m

，log_a

p

n

]，能求出实数p的取值范围．（Ⅲ）由g（x）=log_a（x²-3x+3），知F（x）=a^{f（x）-g（x）}=

x+1

x2-3x+3

，x＞-1．由(x+1)+

7

x+1

-5≥2

7

-5，知F（x）_max=F（

7

-1）=

2 7 +5

3

，再由w≥F（x）恒成立，能求出实数w的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象与函数y=a^x-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）是y=a^x-1（a＞1）的反函数．
在y=a^x-1（a＞1）中，
∵a^x=y+1，∴x=log_a（y+1），
互换x，y，得到f（x）=log_a（x+1）．…（3分）
（Ⅱ）因为a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上为单调递增函数．
所以f（x）=log_a（x+1）在区间[m，n]（m＞-1）上为单调递增函数．
∵f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a

p

m

，log_a

p

n

]，
∴f（m）=loga(m+1)=loga

p

m

，
f（n）=log_a（n+1）=loga

p

n

，
即m+1=

p

m

，n+1=

p

n

，n＞m＞-1．
所以m，n是方程x+1=

p

x

，
即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
这等价于

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0 - 1 2 ＞-1

，…（6分）
解得-

1

4

＜p＜0为所求．
故实数p的取值范围是（-

1

4

，0）． …（8分）
（Ⅲ）∵g（x）=log_a（x²-3x+3），
∴F（x）=a^{f（x）-g（x）}=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)
=

x+1

x2-3x+3

，x＞-1．
∵(x+1)+

7

x+1

-5≥2

7

-5，
当且仅当x=

7

-1时等号成立，
∴

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

∈（0，

2 7 +5

3

]，
∴F（x）_max=F（

7

-1）=

2 7 +5

3

，
因为w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，
所以实数w的取值范围是[

2 7 +5

3

，+∞）．…（13分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意反函数、单调性、均值定理等知识点的合理运用．