Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（Ⅰ）求圆心C的坐标及半径r的大小；
（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（Ⅲ）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；
（Ⅱ）设出直线的截距式方程，整理为一般式，由圆心到切线的距离等于半径列式求得a的值，则切线方程可求；
（Ⅲ）由切线垂直于过切点的半径及|MP|=|OP|列式求点P的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，得：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆心坐标C（-1，2），半径r=

2

；  
（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
设直线方程x+y=a，
∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆半径

2

，
即：

|-1+2-a|

2

=

2

∴a=-1或a=3，
所求切线方程为：x+y+1=0或x+y-3=0；
（Ⅲ）∵切线PM与半径CM垂直，设P（x，y）
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²  
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²
所以点P的轨迹方程为2x-4y+3=0．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式，是中档题．