Question

（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；
（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；
（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数
列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.

Answer 1

（Ⅰ）解：.                     ………………3分
（Ⅱ）证明： 因为 ，
，
，
……
，
由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得
     即，.                                    ………………8分
（Ⅲ）证明：对于数列及其“衍生数列”，
因为 ，
，
，
……
，
由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，
相加得
     即.
设数列的“衍生数列”为，
因为 ，，
所以 ，  即成等差数列.      ………………12分
同理可证，也成等差数列.
从而是等差数列.            ………………13分

略