Question

如图，函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的图象经过点（0，1）

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）若f（x）=

2

，求自变量x的值．

Answer 1

分析：（1）由函数图象的顶点纵坐标可得A；再由函数的周期求得ω；再由函数的图象过点（0，1），结合|?|＜

π

2

，求得 ?，从而求得函数的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，故函数的增区间．
（3）由f（x）=

2

，求得sin（

1

2

x+

π

6

）=

2

2

，可得

1

2

x+

π

6

=2kπ+

π

4

，或

1

2

x+

π

6

=2kπ+

3π

4

，k∈z，由此求得x的值．

解答：解：（1）由函数图象的顶点纵坐标可得A=2，再由函数的周期为2[（x₀+2π）-x₀]=

2π

ω

，求得ω=

1

2

．
再由函数的图象过点（0，1），可得2sin?=1，故sin?=

1

2

．再由|?|＜

π

2

，可得 ?=

π

6

，
故函数的解析式为 f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，故函数的增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈z．
（3）若f（x）=

2

，则有2sin（

1

2

x+

π

6

）=

2

，sin（

1

2

x+

π

6

）=

2

2

，∴

1

2

x+

π

6

=2kπ+

π

4

，或

1

2

x+

π

6

=2kπ+

3π

4

，k∈z．
 解得 x=4kπ+

π

6

，或 x=4kπ+

7π

6

，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，复合三角函数的单调性，属于中档题．