Question

定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²+x，且对任意x，满足f（x-3）=2f（x），则f（x）在区间[5，7]上的值域是

[-

1

16

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先根据条件得到f（x）=

1

4

f（x-6），再结合x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；以及当x∈[-1，1]时，f（x）的值域即可求出结论．

解答：解：因为；f（x-3）=2f（x），
∴f（x-6）=2f（x-3）=4f（x），
∴f（x）=

1

4

f（x-6），
x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；
∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

∴x=-

1

2

时，y_min=-

1

4

，
x=1时，y_max=2．
故当x∈[-1，1]时，f（x）∈[-

1

4

，2]．
∴x∈[5，7]
∴f（x）=

1

4

f（x-6）∈[-

1

16

，

1

2

]．
故答案为：[-

1

16

，

1

2

]．

点评：本题主要考察抽象函数及其应用．其中涉及到了二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数在闭区间上的最值一定要判断对称轴和区间的位置关系，避免出错．