Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，函数f(x)=

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x3-10x2，若f′（x）的图象经过点（n，S_n）（n=1，2，3，…．）
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

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x3-10x2，知f′（x）=x²-20x，由f′（x）的图象经过点（n，S_n），知Sn=n2-20n，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由Sn=n2-20n=（n-10）²-100，能够求出S_n的最小值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

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x3-10x2，
∴f′（x）=x²-20x，
∵f′（x）的图象经过点（n，S_n）（n=1，2，3，…．）
∴Sn=n2-20n，
∴a₁=S₁=1-20=-19，
a_n=S_n-S_n-1=（n²-20n）-[（n-1）²-20（n-1）]=2n-21，
当n=1时，2n-21=-19=a₁，
∴a_n=2n-21．
（2）∵Sn=n2-20n=（n-10）²-100，
∴n=10时，S_n取最小值S₁₀=-100．

点评：本题考查数列的递推式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的合理运用．