Question

已知函数f（x）=log_a[

x

-（2a）^x]对任意x∈[

1

2

，+∞）都有意义，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据负数和0没有对数可知

x

-（2a）^x大于0，利用图象可知y=

x

图象在y=（2a）^x图象的上边，由指数函数的图象可得a的范围，因为函数对x≥

1

2

都成立，得到

1 2

等于(2a)

1

2

，解得a等于

1

4

，根据指数函数图象的性质可得a的范围．

解答：解：根据对数的定义可知：

x

-（2a）^x＞0，
由图象可知x＞m时，y=

x

图象在y=（2a）^x图象的上边
由指数函数y=（2a）^x图象可知0＜2a＜1，
解得0＜a＜

1

2

，
因为函数f（x）对任意x∈[

1

2

，+∞）都有意义，
得

1 2

=(2a)

1

2

，解得a=

1

4

根据指数函数图象的性质可得实数a的取值范围为：0＜a＜

1

4

故答案为：（0，

1

4

）

点评：此题考查学生掌握函数恒成立时所取的条件，会求对数函数的定义域，会利用数形结合的数学思想解决实际问题，是一道中档题．