Question

给出下列命题：
（1）“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列”的充分不必要条件；
（2）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件；
（3）“m=3”是“直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0相互垂直”的充要条件；
（4）设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a=1．b=

3

，则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是

（1）（4）

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：利用等比数列的定义以及充要条件的有关定义判断出（1）对；通过举反例判断出（2）不对；通过举反例说明（3）不对；利用三角形的正弦定理以及有关的充要条件的定义判断出（4）对．

解答：解：对于（1）若“数列{a_n}为等比数列”，则

an+1

an

=q(常数)
所以

an+1an+2

anan+1

=q2(常数)，所以“数列{a_na_n+1}为等比数列”．
反之，若“数列{a_na_n+1}为等比数列”成立，例如数列1，3，2，6，4，12，8…满足数列{a_na_n+1}为等比数列，
但数列{a_n}不为等比数列
所以“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列”的充分不必要条件；故（1）对；
对于（2），例如a=1时，f（x）在区间[2，+∞）为增函数，所以）“a=2”不是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件，故（2）不对；
对于（3），当m=0时，两直线的方程分别为3x-2=0及-6y+5=0垂直，所以“m=3”不是“直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0相互垂直”的充要条件；故（3）不对；
对于（4），因为a=1．b=

3

，若A=30°”成立，由正弦定理得

1

sin30°

=

3

sinB

，所以sinB=

3

2

，
所以B=60°或120°，
反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得

1

sinA

=

3

sin60°

得sinA=

1

2

，因为a＜b，所以A=30°
所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．故（4）对；
故答案为（1）（4）．

点评：本题考查充要条件的有关定义、考查三角形中的正弦定理、两直线垂直的充要条件，属于中档题．