Question

在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为-

3

4

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

设P点的坐标为（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为-

3

4

．
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

（x≠±2）
整理得P点的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）
（2）设直线l的方程为x=ny+1
联立方程x=ny+1与

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）得
（3n²+4）y²+6ny-9=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

-6n

3n2+4

，y₁•y₂=

-9

3n2+4

△MON的面积S=

1

2

•|OP|•|y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1•y2

=

6 n2+1

3n2+4

=

6 n2+1

3(n2+1)+1

=

6

3 n2+1 + 1 n2+1

令t=

n2+1

，则t≥1，且y=3t+

1

t

在[1，+∞）是单调递增
∴当t=1时，y=3t+

1

t

取最小值4
此时S取最大值

3

2

此时直线的方程为x=1