题目内容

如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
AB
•
AD
=0，求D2+E2-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．
分析：（1）证法一，利用原点在圆内，圆心坐标代入方程，方程的左边小于0，直接证明F＜0；
证法二：A、C两点分别在x轴正负半轴上．设A（a，0），C（c，0），则有ac＜0．利用x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得
x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，推出xAxC=ac=F．得到结论．  
（2）四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
AB
•
AD
=0，得到|BD|=8，推出r=4，即可求D2+E2-4F的值；
（3）设A，B，C，D的坐标，求出点G的坐标为(
c
2
，
d
2
)，即
OG
=(
c
2
，
d
2
)，通过AB⊥OH，证明G、O、H三点共线，只需证
AB
•
OG
=0即可．
解答：解：（1）证法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点（0，0）代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边后的值小于0，
于是有F＜0，即证．…（4分）
证法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为
A（a，0），C（c，0），则有ac＜0．
对于圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F．   
因为ac＜0，故F＜0．…（4分）
（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=
|AC|•|BD|
2
，因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．…（6分）
又因为
AB
•
AD
=0，所以∠A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，故|BD|=2r=8⇒r=4．…（8分）
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知
D2
4
+
E2
4
-F=r2，所以D2+E2-4F=4r2=64．…（10分）
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
则可得点G的坐标为(
c
2
，
d
2
)，即
OG
=(
c
2
，
d
2
)．…（12分）
又
AB
=(-A，B)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三点共线，只需证
AB
•
OG
=0即可．
而
AB
•
OG
=
bd-ac
2
，且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F．…（14分）
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F．
所以，
AB
•
OG
=
bd-ac
2
=0，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三点共线．…（16分）
点评：本题是中档题，考查点、直线与圆的位置关系，圆的方程的应用，解析法证明问题的方法，考查计算能力，转化思想．
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偶函数
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