Question

已知函数f(x)=ax³-x²+1（x∈R），其中a＞0，
(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)若在区间上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x³-x²+1，f(2)=3；
f′(x)=3x²-3x，f′(2)=6，
所以曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2)，即y=6x-9．
(Ⅱ)f′(x)=3ax²-3x=3x(ax-1)，
令f′(x)=0，解得x=0或x=，
以下分两种情况讨论：
(1)若0＜a≤2，则，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

 当x∈时，f(x)＞0等价于，即，
解不等式组得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；
(2)若a＞2，则，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

 当x∈时，f(x)＞0等价于，即，
解不等式组得或，因此2＜a＜5；
综合(1)和(2)，可知a的取值范围为0＜a＜5．