Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜1对任意x∈[-

π

4

，

π

6

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角三角函数公式和辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，结合正弦函数单调区间的公式，解不等式即可得到函数f（x）的单调减区间；
（2）设不等式|f（x）-m|＜1的解集合是M，函数f（x）=sin（2x-

π

6

）-1在区间[-

π

4

，

π

6

]上的值域N，可得N是M的子集，由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z
（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，得2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]
∴-1≤sin（2x-

π

6

）≤

1

2

，得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1∈[-2，-

1

2

]
∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意x∈[-

π

4

，

π

6

]恒成立
∴-2≥-1+m且1+m≥-

1

2

，解之得-

3

2

≤m≤-1
即实数m的取值范围是[-

3

2

，-1]．

点评：本题给出三角函数式，要求我们将其化简成标准形式，并求函数的减区间，着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．