Question

【题目】如图四棱锥中， 平面，底面是梯形， ， ， ， ， ， 为的中点， 为上一点，且（）．

（1）若时，求证： 平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求异面直线与直线所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）直线与直线所成角的余弦值为.

【解析】试题分析：（1）第一问，要证明平面，只需要证明，只需要证明四边形是平行四边形. (2)第二问，一般利用向量的方法解答.先根据直线与平面所成角的正弦值为求出，再异面直线所成的角的公式求出直线与直线所成角的余弦值为．

试题解析：（1）证明：若时， ，在上取，

连接， ，∵， ， ，

∴，且，

∵为的中点， ，∴，

又∵，∴，

∴四边形是平行四边形，∴，

又∵平面， 平面，

∴平面．

（2）如图所示，

过点作于，则，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，

∴点， ， ， ， ， ， ， ，

，

设平面的法向量为，则即令，则， ，

∴，

设直线与平面所成的角为，则

，

解得，则， ， ，

设直线与直线所成角为，

则，

所以直线与直线所成角的余弦值为．