Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求证：AB∥平面PCD
（2）求证：BC⊥平面PAC．

Answer 1

证明：（1）证明：∵AB∥DC，且AB?平面PCD
∴AB∥平面PCD．
（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，
∴AD=CE=1，
则，AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC（7分）PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
分析：（1）欲证AB∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AB与平面PCD内一直线平行，而AB∥DC，且AB?平面PCD，满足定理所需条件；
（2）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，过C作CE⊥AB于点E，根据三边AC²+BC²=AB²满足勾股定理可知BC⊥AC，而PA⊥BC，PA∩AC=A，满足定理所需条件．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．