Question

（2005•上海模拟）一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示．
（1）求AD与平面A₁BCC₁的位置关系并说明理由，求点A₁与点C的连线与平面ABCD所成角的大小；
（2）求此多面体的表面积和体积．

Answer 1

分析：由视图可知，直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形．
 （1）由于AD∥BC，BC?平面A₁BCC₁，根据线面平行的判定可得AD∥平面A₁BCC₁，取AB的中点O，连接OA₁，CO，A₁C，则OA₁⊥平面ABCD，从而∠A₁CO为点A₁与点C的连线与平面ABCD所成角，故可求；
（2）根据直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形，可求表面积与体积

解答：解：由视图可知，直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形．
 （1）由于AD∥BC，BC?平面A₁BCC₁，∴AD∥平面A₁BCC₁，
取AB的中点O，连接OA₁，CO，A₁C，则OA₁⊥平面ABCD，
∴∠A₁CO为点A₁与点C的连线与平面ABCD所成角
在直角三角形A₁CO中，A₁O=a，OC=

5

2

a
∴tan∠A₁CO=

2 5

5

∴∠A₁CO=arctan

2 5

5

；
（2）根据直观图的多面体的表面积为2×

1

2

×a2+2×

5

2

a2+a2=(2+

5

)a2
体积为

1

2

a2 ×a=

1

2

a3

点评：本题以视图为载体，考查线面位置关系，考查线线角，考查多面体的表面积与体积，关键是得出直观图．