Question

已知函数f(x)=|

1

x

-1|
（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（2）若集合A={y|y=f（x），

1

2

≤x≤2}，B=[0，1]，试判断A与B的关系；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数单调性的定义出发，给出证明．
（2）由x的范围算出f（x）的值域．再讲两个集合A和B进行比较．
（3）由前面单调性及函数特征的分析可知，0和1作为分类讨论的两个分界点分别讨论．

解答：（1）证明：f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
设x₁，x₂为[1，+∞）上任意两个实数，且1≤x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
（2）解：当

1

2

≤x≤2时

1

2

≤

1

x

≤2，-

1

2

≤

1

x

-1≤1，0≤|

1

x

-1|≤1
∴A=[0，1]=B
（3）解：由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．
①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b为方程1-

1

x

=mx的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的负根.

m＞0 1 2m ＜0

，此不等式组无解．
②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b为方程1-

1

x

=mx的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的大于1的根.

m＞0 1 2m ＞1?m＜ 1 2 △=1-4m＞0?m＜ 1 4

，解得0＜m＜

1

4

．
③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

，两式作差得a=b，无意义．
综上，非零实数m的取值范围为(0，

1

4

)．

点评：本题考查了函数单调性的定义，并结合着函数性质对区间进行分类讨论，并求解．分类讨论在高中范围内仍是很重要的一类思想，在高考中也是经常考查到的思想．