题目内容
双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=2，F1，F2是左，右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F1P与右准线交于Q点，已知
•
=-
（1）求双曲线的方程；
（2）设过F1的直线MN分别与左支，右支交于M、N，线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x0，0），若1≤|NF2|＜3，求x0的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1P |
| F2Q |
| 15 |
| 64 |
（1）求双曲线的方程；
（2）设过F1的直线MN分别与左支，右支交于M、N，线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x0，0），若1≤|NF2|＜3，求x0的取值范围．
（1）∵e=2?c=2a，F1（-2a，0），F2（2a，0），P（2a，m）m=|PF2|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
设Q(
，t)∵F1，Q，F2三点共线∴t=
∵
•
=-
得a2=1
∴x2-
=1
（2）设MN：y=k（x+2）代入3x2-y2=3得：（3-k2）x2-4k2x-4k2-3=0△＞0?k2+1＞0
设M（x1，y1），N（x2，y2）
∵x1+x2=
∴l：y-
=-
(x-
)
∵l过Q（x0，0）∴x0=
∵|NF2|=2x1-1且|NF2|∈[1，3）
∴x1∈[1，2）
?k2=
令f(x1)=
∵f′(x1)=
＞0
∴f（x1）在x1∈[1，2）上单调递增
得 k2∈[0，
)∵x0=8(-1+
)∴x0∈[0，
)
设Q(
| a |
| 2 |
| 15a |
| 8 |
| F1Q |
| F2Q |
| 15 |
| 64 |
∴x2-
| y2 |
| 3 |
（2）设MN：y=k（x+2）代入3x2-y2=3得：（3-k2）x2-4k2x-4k2-3=0△＞0?k2+1＞0
设M（x1，y1），N（x2，y2）
∵x1+x2=
| 4k2 |
| 3-k2 |
| 6k |
| 3-k2 |
| 1 |
| k |
| 2k2 |
| 3-k2 |
∵l过Q（x0，0）∴x0=
| 8k2 |
| 3-k2 |
∴x1∈[1，2）
|
| 3x12-3 |
| (x1+2)2 |
令f(x1)=
| x12-1 |
| (x1+2)2 |
| 2(2x1+1) |
| (x1+2)3 |
∴f（x1）在x1∈[1，2）上单调递增
得 k2∈[0，
| 9 |
| 16 |
| 3 |
| 3-k2 |
| 24 |
| 13 |
练习册系列答案
相关题目
若点O和点F（-2，0）分别是双曲线
-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
•
的取值范围为（ ）
| x2 |
| a2 |
| OP |
| FP |
A、[3-2
| ||
B、[3+2
| ||
C、[-
| ||
D、[
|
已知双曲线
-y2=1的一个焦点坐标为(-
，0)，则其渐近线方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| 3 |
A、y=±
| ||||
B、y=±
| ||||
| C、y=±2x | ||||
D、y=±
|