Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）设，，（为自然对数的底数）.是否存在常数，使恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析: （Ⅰ）利用函数的导数求出函数的最小值,根据最小值大于 就能 求出 的取值范围;（Ⅱ）此恒成立问题转化为 小于等于 的最小值,在求函数的最小值时,运用了二次求导.

试题解析:（Ⅰ）由已知得，的定义域为，且

当时，恒成立，

∴，由得，

得的取值范围为.

（Ⅱ）由已知得，，其定义域为.

，

∵，∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

令，则，

再令，则

∵，∴.

∴在上单调递减，∴

∴，且，

即存在，使在上单调递增，在上单调递减，

则的最小值就是和中较小的那个，

又，∴，

∴恒成立，即

∴存在实数使恒成立，取值范围为.

点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,对数函数的性质及分类讨论思想,利用导数研究函数的单调性时要注意先求函数的定义域,若所求的导数含有参数,在进行讨论时要做到分类标准统一,对参数的讨论要不重不漏.