题目内容
若F1、F2为双曲线C：
-
=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P及N （2，
）均在双曲线上，M在C的右准线上，且满足
=
，
=
．
（1）求双曲线C的离心率及其方程；
（2）设双曲线C的虚轴端点B1、B2（B1在y轴的正半轴上），点A，B在双曲线上，且
=λ
，当
•
=0时，求直线AB的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| F1O |
| PM |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
（1）求双曲线C的离心率及其方程；
（2）设双曲线C的虚轴端点B1、B2（B1在y轴的正半轴上），点A，B在双曲线上，且
| B2A |
| B2B |
| B1A |
| B1B |
分析：（1）由题知：|OF1|=|PM|=c，∠F1OP=∠POM，故F1OMP是菱形，由双曲线第一定义：|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|=|OF1|=c，故|PF2|=2a+c，由双曲线第二定义得：e=
=
，解得e=2或e=-1（舍），由此能求出双曲线方程．
（2）由（1）知B1（0，3），B2（0，-3），
=λ
，故直线AB过B2（0，-3），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．由
•
=0，知（1+k2）x1x2-6k（x1+x2）+36=0．由此能求出直线AB的方程．
| |PF2| |
| |PM| |
| 2a+c |
| c |
（2）由（1）知B1（0，3），B2（0，-3），
| B2A |
| B2B |
| 6k |
| k2-3 |
| 18 |
| k2-3 |
| B1A |
| B1B |
解答：解：（1）由题知：|OF1|=|PM|=c，∠F1OP=∠POM，∴F1OMP是菱形，…（1分）
∵由双曲线第一定义：|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|=|OF1|=c，
∴|PF2|=2a+c，
∴由双曲线第二定义得：e=
=
；
∴e=2
+1，即e2-e-2=0；
解得e=2或e=-1（舍）；…（3分）
∵e=
=2，∴c=2a，
∴b2=3a2
将N（2，
）代入双曲线方程得
-
=1，
∴a2=3，b2=9…（5分）
∴所求双曲线方程为
-
=1…（6分）
（2）由（1）知B1（0，3），B2（0，-3），
∵
=λ
，∴B2，A，B三点共线，即直线AB过B2（0，-3），
∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．
∵
•
=0，
∴x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，
∴（1+k2）x1x2-6k（x1+x2）+36=0．
将x1+x2和x1x2代入，得k=±
．
检验满足△＞0，
∴直线AB的方程为y=±
x-3．
∵由双曲线第一定义：|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|=|OF1|=c，
∴|PF2|=2a+c，
∴由双曲线第二定义得：e=
| |PF2| |
| |PM| |
| 2a+c |
| c |
∴e=2
| 1 |
| e |
解得e=2或e=-1（舍）；…（3分）
∵e=
| c |
| a |
∴b2=3a2
将N（2，
| 3 |
| 4 |
| a2 |
| 3 |
| 3a2 |
∴a2=3，b2=9…（5分）
∴所求双曲线方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 9 |
（2）由（1）知B1（0，3），B2（0，-3），
∵
| B2A |
| B2B |
∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 6k |
| k2-3 |
| 18 |
| k2-3 |
∵
| B1A |
| B1B |
∴x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，
∴（1+k2）x1x2-6k（x1+x2）+36=0．
将x1+x2和x1x2代入，得k=±
| 5 |
检验满足△＞0，
∴直线AB的方程为y=±
| 5 |
点评：本题考查双曲线C的离心率及其方程的求法，求直线AB的方程．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足
（Ⅰ）求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若此双曲线过点
，求双曲线方程；（Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求
时，直线AB的方程.
=1的左、右焦点,O为坐标原点,P在双曲线左支上,M在右准线上,且满足
=
,
=
.
),求双曲线的方程.
的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足
（λ＞0），则该双曲线的离心率为（ ）
