题目内容
已知数列{an}是公比大于1的等比数列，满足a3•a4=128，a2+a5=36；数列{bn}满足bn+1=2bn-bn-1（n∈N*，n≥2），且b2≠b1=1，b2，b4，b8成等比数列．
（1）求{an}及{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．
（1）求{an}及{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．
（1）依题意，
?
，又a5＞a2，
∴
，解得
，
∴an=2n．
由bn+1=2bn-bn-1，得2bn=bn+1+bn-1（n∈N*，n≥2），
∴{bn}是等差数列，设其公差为d，由b42=b2•b8及b1=1，得：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），
∴d2=d，又b2≠b1，
∴d=1，
∴bn=1+（n-1）×1=n．
∴an=2n，bn=n；
（2）由Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n得：
2Sn=1×22+…+（n-1）×2n+n×2n+1；
两式相减得：-Sn=（21+22+…+2n）-n×2n+1=
-n×2n+1=-2+（1-n）×2n+1，
故Sn=（n-1）×2n+1+2．
|
|
∴
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∴an=2n．
由bn+1=2bn-bn-1，得2bn=bn+1+bn-1（n∈N*，n≥2），
∴{bn}是等差数列，设其公差为d，由b42=b2•b8及b1=1，得：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），
∴d2=d，又b2≠b1，
∴d=1，
∴bn=1+（n-1）×1=n．
∴an=2n，bn=n；
（2）由Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n得：
2Sn=1×22+…+（n-1）×2n+n×2n+1；
两式相减得：-Sn=（21+22+…+2n）-n×2n+1=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
故Sn=（n-1）×2n+1+2．
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