Question

在△ABC中，角A、B、C的边长分别为a、b、c，S为△ABC的面积．
（Ⅰ）若4S=a²+b²-c²，求角C；
（Ⅱ）若4

3

S=a2+b2+c2，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理得到a²+b²-c²=2abcosC，利用三角形的面积公式表示出S，代入已知的等式中求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，分别代入已知的等式中，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用基本不等式变形，根据正弦函数的值域，得到sin（C+

π

6

）=1，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，将C的度数代入得到a=b，即可确定出三角形ABC为等边三角形．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，且S=

1

2

absinC，
∴4S=a²+b²-c²=2abcosC=4×

1

2

absinC，即tanC=1，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

4

；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，4

3

S=a²+b²+c²，
∴4

3

S=4

3

×

1

2

absinC=a²+b²+a²+b²-2abcosC，即

3

absinC+abcosC=a²+b²，
∴2absin（C+

π

6

）=a²+b²≥2ab，即sin（C+

π

6

）≥1，
∴sin（C+

π

6

）=1，
∵C+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
将C=

π

3

代入得：2ab=a²+b²，即a=b，
则△ABC为等边三角形．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．