题目内容

（2013•宁德模拟）在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-
3
sinBsinC，且
.
AB
•
.
AC
=2
3
，则AC+2AB的  最小值为（　　）
分析：由已知结合正弦定理可得，a2=b2+c2-
3
bc，然后利用余弦定理可得，cosA=
b2+c2-a2
2bc
可求A，再由
.
AB
•
.
AC
=2
3
，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用基本不等式可求
解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C-
3
sinBsinC，
由正弦定理可得，a2=b2+c2-
3
bc，
由余弦定理可得，cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
2

∴A=
π
6

∵
.
AB
•
.
AC
=2
3
，
由数量积的定义可知，bccos
π
6
=2
3

∴bc=4
∴AC+2AB=b+2c≥2
2bc
=4
2

当且仅当b=2c=2
2
时取等号
故选D
点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及基本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键．
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