Question

【题目】如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0 ， y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣ 时，切线MA的斜率为﹣ ．

（1）求P的值；
（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′= ，且切线MA的斜率为﹣ ，

所以设A点坐标为（x，y），得 ，解得x=﹣1，y= = ，点A的坐标为（﹣1， ），

故切线MA的方程为y=﹣ （x+1）+

因为点M（1﹣ ，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是

y0=﹣ （2﹣ ）+ =﹣ ①

∴y0=﹣ =﹣ ②

解得p=2

（2）解：设N（x，y），A（x1， ），B（x2， ），x1≠x2，由N为线段AB中点知x= ③，y= = ④

切线MA，MB的方程为y= （x﹣x1）+ ，⑤；y= （x﹣x2）+ ⑥，

由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0= ，y0=

因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣ ⑦

由③④⑦得x2= y，x≠0

当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2= y

因此中点N的轨迹方程为x2= y

【解析】（1）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（2）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程