Question

如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥面ABE，AD=AE=BE=2，F在CE上且BF⊥面ACE．
（1）求证：AE⊥BE．（2）求DE与面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由BC⊥面ABE和BF⊥面ACE，根据线面垂直的定义得BF⊥AE和BF⊥AE，根据线面垂直的判定证出AE⊥面BCE，即证出AE⊥BE；
（2）根据BC⊥面ABE过E作EM⊥AB于M，连DF，证出EM⊥面ABCD，则∠EDM为所求的角，在放入三角形利用线段的长度进行求三角函数值，进而求出线面角．

解答：证明：（1）∵BC⊥面ABE，AE?面ACE，∴BF⊥AE
∵BF⊥面ACE，∴BF⊥AE，
又∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BCE，
∵BE?面BCE，∴AE⊥BE．（6分）
（2）过E作EM⊥AB于M，连DF，
由BC⊥面ABE知BC⊥EM，
∵AB∩BC=B，∴EM⊥面ABCD，∴DM为斜线ED在面ABCD内的射影，
∴∠EDM为所求的角，（8分）
在△ABE中，AE=BE=2，∴AF=BF=

2

，EF=

2

，
在△DAM中，DA=2，∴DF=

6

．（10分）
在Rt△DME中，tan∠MDE=

2

6

=

3

3

，∴∠EDM=30°，
即DE与面ABCD所成的角为30°．（12分）

点评：本题是关于线线、线面垂直与线面角的综合题，利用线面垂直判定定理和定义，实现线线、线面的相互转化，并且求线面角时利用线面垂直作出和证出线面角，然后在对应三角形中来求解，考查了推理论证和逻辑思维能力．