Question

根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线形的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值.

Answer 1

剖析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.

解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x²=-2p(y-),

    ∵点A（-,0）在抛物线上,

    ∴(-)²=-2p(0-),得p=.

    ∴抛物线方程为x²=-a(y-).

    取x=1.6+0.4=2,代入抛物线方程,得

    2²=-a(y-),y=.

    由题意,令y＞3,得＞3,

    ∵a＞0,∴a²-12a-16＞0.

    ∴a＞6+2.

    又∵a∈Z,∴a应取14，15，16，….

    答:满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m.

讲评：本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值;二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.