Question

如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，点C为圆上一点，AC⊥OP．
（Ⅰ）求证：△ABC∽△POA．
（Ⅱ）若⊙O的直径为10，BC=6，求PA的长．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，结合圆周角定理的推论2，及弦切角定理，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似；
（II）由（1）的结论，根据相似三角形的性质，我们易得到两个三角形中对应边成比例，将⊙O的直径为10，BC=6，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，又∵AC⊥OP，∴OP∥BC
∴∠AOP=∠ABC∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°=∠ACB
∴△ABC∽△POA
（Ⅱ）∵△ABC∽△POA
∴

PA

AC

=

OA

BC

，
∴PA=

5×8

6

=

20

3

点评：本题考查的知识点是三角形相似的判定与性质，其中根据已知条件，结合圆周角定理的推论2，及弦切角定理，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答本题的关键．