Question

15．已知函数f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• C． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{3}$）∩（$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．

解答 解：函数f（x）=-x³+ax²-x-1的导数为f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，
∴△=4a²-12≤0，
解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$
∴实数a的取值范围是$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
故选：A

点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，利用导数是解决本题的关键．