题目内容

已知抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，并且经过点M()，请问这样的抛物线有几条？并求出其方程.

思路分析：本题考查抛物线性质及标准方程的求法.根据题目意思：抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，此时符合条件的抛物线有4条，再由条件这条抛物线经过定点，因此其范围被缩小到2条.

解：因为抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，所以应分两种情况：

焦点在x轴上，可设其方程为y2=2px(p≠0)；

焦点在y轴上，可设其方程为x2=2my(m≠0).

又抛物线经过点M()，∴()2=2p()或()2=2m()；

∴p=，m=.即所求方程为y2=x或x2=y.

故这样的抛物线共两条，一条开口向右，一条开口向下.其方程分别为y2=x或x2=y.

    方法点拨 在求解抛物线方程时，若不知抛物线开口方向时，可设参数p≠0；而不知对称轴为何轴时，研究方程应分两种情形.

练习册系列答案
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已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，
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），N（-
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，
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），且抛物线与椭圆交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-
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=0恒有公共点，试求m的取值范围．
注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做．
已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率e=
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，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且(
MA
+
MB
)⊥
AB
，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
（2010•福建模拟）已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q(2，
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)，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F1
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆
x2
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+
y2
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=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值是
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”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，数学公式），N（-数学公式，数学公式），且抛物线与椭圆交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-数学公式=0恒有公共点，试求m的取值范围．
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，），N（-，），且抛物线与椭圆交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-=0恒有公共点，试求m的取值范围．

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