Question

已知某同学上学途中必须经过三个交通岗，且在每一个交通岗遇到红灯的概率均为，假设他在3个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，用随机变量ξ表示该同学遇到红灯的次数．
（1）求该同学在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯的概率；
（2）若ξ≥2，则该同学就迟到，求该同学不迟到的概率；
（3）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）用事件A_i（i=1，2，3）表示该同学在第i个交通岗遇到红灯，事件B表示“在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯”，则B=，且事件A_i两两相互独立，得到概率．
（2）因为该同学经过三个交通岗时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即ξ～B（3，） 
（3）根据随机变量ξ～B（3，），写出分布列，得到Eξ=3×，利用公式得到期望和分布列．
解答：解：（1）用事件A_i（i=1，2，3）表示该同学在第i个交通岗遇到红灯，
事件B表示“在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯”，（1分）
则B=，且事件A_i两两相互独立．    （2分）
所以P（B）=P（）=．（4分）
（2）因为该同学经过三个交通岗时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，
即ξ～B（3，）         （6分）
所以该学生不迟到的概率为：
P（ξ＜2）=1-P（ξ≥2）=1--=1-=   （8分）
（3）因为随机变量ξ～B（3，）          （9分）
P（ξ=k）=
所以Eξ=3×=1，（11分）
答：该同学恰好在第一个交通岗遇到红灯的概率为；该同学不迟到的概率为；
ξ的数学期望为1，方差为．      （12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及二项分布，本题解题的关键是看出变量符合二项分布，利用二项分布的分布列和期望公式得到结论．