Question

已知定义域为R的奇函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）判定函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知f（0）=0求出b，再由奇函数的定义求出b；
（Ⅱ）先用分离常数法将解析式化简后判断出单调性，再用定义证明即：取值、作差、变形、判断符   号、得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上奇函数
由f(0)=0即

-1+b

2+a

=0得b=1（1分）
又由f(-x)=-f(x)即

-2-x+1

2-x+1+a

=-

-2x+1

2x+1+a

，解得a=2（5分）
（Ⅱ）由f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

（6分）
∵2^x为增函数，∴f（x）是R上的减函数（7分）
证明：设x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

（10分）
∵x1＜x2∴2x1＜2x22x2-2x1＞0（11分）
∵2x1+1＞0，2x2+1＞0∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）（12分）
∴f（x）是R上的减函数（13分）

点评：本题的考点是用奇函数的定义求系数和用定义法证明函数的单调性，注意变形结果的形式和题意，
是基础题．