Question

设a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）设关于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；
（Ⅱ）a=e求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明；
（Ⅲ）利用放缩法，求出||的取值范围，最后推出小于4即可．
解答：解：（1）由题意，得a^x=＞0
故g（x）=，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
由得t=（x-1）²（7-x），x∈[2，6]
则t′=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t'		+		-
t	5	递增	极大值32	递减	25

所以t_最小值=5，t_最大值=32
所以t的取值范围为[5，32]（5分）

（Ⅱ）
=ln（）
=-ln
令u（z）=-lnz²-=-2lnz+z-，z＞0
则u′（z）=-=（1-）²≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数
又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0
即ln＞0
即（9分）

（3）设a=，则p≥1，1＜f（1）=≤3，
当n=1时，|f（1）-1|=≤2＜4，
当n≥2时，
设k≥2，k∈N^*时，则f（k）=，
=1+
所以1＜f（k）≤1+，
从而n-1＜≤n-1+=n+1-＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|-n|＜4．
点评：本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．