题目内容

（2012•绵阳二模）为备战2012年伦敦奥运会，爾家篮球队分轮次迸行分项冬训．训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为
2
3
和P（P＞0）假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响．若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”
（I）若p=
1
2
求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率；
（II）设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为ζ，当Eζ≤2时，求P的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，甲、乙两组为“友好组”，利用相互独立事件的概率公式，结合p=
1
2
，可求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率；
（Ⅱ）先求出甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P2，再利用Eζ≤2时，即可求得p的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P1，则
P1=
C
1
2
×
2
3
×
1
3
×
C
1
2
×(
1
2
)2+
C
2
2
×(
2
3
)2×
C
2
2
×(
1
2
)2=
2
9
+
1
9
=
1
3
．（5分）
（Ⅱ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为P2，
则P2=
C
1
2
×
2
3
×
1
3
×
C
1
2
×p(1-p)+
C
2
2
×(
2
3
)2×
C
2
2
×p2=
8
9
p-
4
9
p2，（9分）
∵ξ～B（6，P2），
∴Eξ=6P2≤2
即6(
8
9
p-
4
9
p2)≤2，
∴4p2-8p+3≥0
∵p＞0，
∴0＜p≤
1
2
．   （12分）
点评：本题以实际问题为载体，考查相互独立事件的概率，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
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