Question

已知直线l：y=x+1与曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于不同的两点A，B，O为坐标原点．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；
（Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且a∈[

6

2

，

10

2

]时，求曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线L与曲线C的交点利用两点间的距离公式和题设等式求得x₁²-x₂²=y₂²-y₁²，把A，B代入椭圆的方程两式相减求得x1 2-x2 2=

a2

b2

(y2 2-y1 2)整理求得a和b的关系，判断出曲线的图象是圆．
（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点根据a＞b判断出曲线C为椭圆，根据OA⊥OB判断出两直线的斜率之积为-1，求得y₁y₂=-x₁x₂，将y=x+1代入椭圆的方程，利用韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而利用直线方程求得y₁y₂的表达式，进而建立等式求得关于a和c的方程，求得a和c的关系式，进而表示出椭圆的离心率，利用a的范围确定离心率的范围．

解答：（Ⅰ）证明：设直线L与曲线C的交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵|OA|=|OB|
∴

x12+y12

=

x22+y22

即：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
∴x₁²-x₂²=y₂²-y₁²
∵A，B在C上
∴

x1 2

a2

+

y1 2

b2

=1，

x2 2

a2

+

y2 2

b2

=1
∴两式相减得：x1 2-x2 2=

a2

b2

(y2 2-y1 2)
∴

a2

b2

=1即：a²=b²
∴曲线C是一个圆
（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∵a＞b＞o
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆
∵OA⊥OB
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1即：y₁y₂=-x₁x₂
将y=x+1代入b²x²+a²y²-a²b²=0整理得：
（b²+a²）x²+2a²+a²-a²b²=0
∴x1+x2=-

2a2

b2+a2

x1x2=

a2(1-b2 )

b2+a2

，
∵A，B在L上∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₂+x₁+1
又∵y₁y₂=-x₁x₂
∴2x₁x₂+x₂+x₁+1=0
∴2•

(1-b2)a2

b2+a2

+(-

2a2

b2+a2

)+1=0
∴b²+a²-2b²a²=0
∴a²+a²-c²-2a²（a²-c²）=0
∴2a⁴-2a²+c²-2c²a²=0
∴c2 =

2a2(a2-1)

2a2-1

∴e2=

c2

a2

=

2(a2-1)

2a2-1

=1-

1

2a2-1

∵a∈[

6

2

，

10

2

]
∴2a²-1∈[2，4]
∴1-

1

2a2-1

∈[

1

2

，

3

4

]e∈[

2

2

，

3

2

]

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的基本性质．要求考生能对椭圆中a，b和c的关系能熟练理解和应用．